Question

已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线与直线y=2x平行．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）解的个数．

Answer 1

（本小题13分）
解：（Ⅰ）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）的最小值为．…（8分）
（Ⅲ）当时，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是；
当时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是
下面讨论方程f（x）-m=0（m∈R）的解
当时，原方程无解；
当或m≥0时，原方程有唯一解
当，原方程有两解．…（13分）
分析：（Ⅰ）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，得该切线斜率为2，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f'（x）=lnx+1，由此能求出函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）当时，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是；当时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是，由此进行分类讨论，能求出方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．
点评：本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的解析式的求法，考查函数的极小值的求法，考查方程的解的个数的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．