题目内容

己知集合A={x||x-1|<2},B={x|
x(x-4)(x-1)(x-2)
≤0}
,C={x|2x2+mx-1<0}.
(Ⅰ)求A∩B,A∪B;
(Ⅱ)若C⊆A∪B,求m的取值范围.
分析:(Ⅰ)由绝对值不等式的解法即可求出集合A,把分式不等式等价转化为整式,再利用穿根法即可得出集合B,进而根据交集与并集的定义即可得出答案;
(Ⅱ)由已知可知集合C≠Φ,故方程2x2+mx-1=0小根大于或等于-1,大根小于或等于4,进而利用二次函数的有关性质即可求出m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵|x-1|<2,∴-2<x-1<2,即-1<x<3,∴集合A=(-1,3);
x(x-4)
(x-1)(x-2)
≤0
,得x(x-1)(x-2)(x-4)≤0,且(x-1)(x-2)≠0,由穿根法解得0≤x<1,2<x≤4,
∴集合B=[0,1)∪(2,4].
∴A∩B=[0,1)∪(2,3),A∪B=(-1,4];
(Ⅱ)∵C⊆(-1,4],∴方程2x2+mx-1=0小根大于或等于-1,大根小于或等于4,
令f(x)=2x2+mx-1,则
f(-1)=1-m≥0
f(4)=4m+31≥0,解之得-
31
4
≤m≤1
-1<-
m
4
<4
点评:正确掌握绝对值不等式的解法、分式不等式等价转化为整式不等式及穿根法、集合间的运算法则及二次函数的性质是解题的关键.
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