Question

矩形ABCD的长AB=8，宽AD=5，动点E、F分别在边BC、CD上，且CE=CF=x，将△AEF的面积S表示为x的函数f（x）．
（1）求函数S=f（x）的解析式及定义域；
（2）求S的值域．

Answer 1

分析：（1）利用几何图形的关系，欲求△AEF的面积S，利用平行四边形的面积减去三个三角形的面积计算即得，最后结合实际问题写出定义域．
（2）利用（1）中得出的二次函数f（x）在x∈（0，5]上单调性，即可求得函数S的值域．

解答：解：（1）S=f（x）=S_{平行四边形ABCD}-S_△CEF-S_△ABE-S_△ADF
=40-

1

2

x2-

1

2

×8×(5-x)-

1

2

×5×(8-x)
=-

1

2

x2+

13

2

x
=-

1

2

(x-

13

2

)2+

169

8

．
∵CE≤CB≤CD，∴0＜x≤5，
∴函数S=f（x）的解析式：S=f(x)=-

1

2

(x-

13

2

)2+

169

8

(0＜x≤5)；
定义域（0，5]；
（2）∵f（x）在x∈（0，5]上单调递增，∴S_max=f（5）=20，
即S的最大值为20．
∴值域（0，20]．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的最值问题，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．