Question

已知函数f(x)=

x2

1+x2

．
（1）求f（2）与f(

1

2

)，f（3）与f(

1

3

)；
（2）由（1）中求得结果，你能发现f（x）与f(

1

x

)有什么关系？并证明你的结论；
（3）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2013

)的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x2

1+x2

即可求得f（2），f（

1

2

），f（3），f（

1

3

）；
（2）易证f（x）+f（

1

x

）=1，从而可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）的值．

解答：解：（1）f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

…1分
f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

…2分
（2）f（x）+f（

1

x

）=1…5分
证：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1…8分
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2013

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2013）+f（

1

2013

）]
=

1

2

+2012
=

4025

2

…12分

点评：本题考查函数的值，考查数列的求和，求得f（x）+f（

1

x

）=1是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．