题目内容
已知：平面α∩平面β=直线a．
α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ；
(Ⅱ)b⊥γ．
解析:
证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC． ——1分
∵ γ⊥α，
∴ PM⊥α．
而 a
α，
∴ PM⊥a．
同理PN⊥a． ——4分
又 PMγ，PNγ，
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2． ——7分
∵ b∥α，∴ b∥a1．
同理b∥a2． ——8分
∵ a1，a2同过Q且平行于b，
∵ a1，a2重合．
又 a1α，a2β，
∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a． ——10分
∵ b∥a1，∴ b∥a．
而a⊥γ，
∴ b⊥γ． ——12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ． ——1分
∵ α⊥γ，P∈α，
∴ a′α．
同理a′β． ——3分
可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a． ——5分
又 a′⊥γ，
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d． ——7分
∵ b∥α，b∥β．
∴ b∥c，b∥d． ——8分
又 c
β，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．
于是c∥β． ——9分
∵ c∥β，cα，α∩β=a，
∴ c∥a． ——10分
∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，
∴ b∥a． ——11分
而 a⊥γ，
∴ b⊥γ． ——12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
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已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等腰直角三角形，AC⊥AD，且AD=DE=2AB，F为CD中点．
，如图所示．
，如图所示．