题目内容
18.函数g(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax在区间[-3,3]内单调递减,则a的取值范围是(-∞,-1].分析 由g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a,函数g(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax在区间[-3,3]内单调递减,则g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a≤0在区间[-3,3]上恒成立,对a进行分类讨论,结合二次函数的图象和性质,可得满足条件的a的取值范围.
解答 解:∵函数g(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax在区间[-3,3]内单调递减,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a≤0在区间[-3,3]上恒成立,
(1)a=0时,g′(x)≤0,解得:x≤0,不满足要求;
(2)a>0,g′(x)是一个开口向上的抛物线,
要使g′(x)≤0在区间[-3,3]上恒成立,
则$\left\{\begin{array}{l}g′(-3)=36a-12≤0\\ g′(3)=12a+12≤0\end{array}\right.$
解得:a≤-1(舍去);
(3)a<0,g′(x)是一个开口向下的抛物线,且以直线x=$\frac{2a-2}{3a}$为对称轴,
此时由$\frac{2a-2}{3a}$>0可知,要使g′(x)≤0在区间[-3,3]上恒成立,
则g′(3)=12a+12≤0
解得:a≤-1,
∴a的取值范围是(-∞,-1].
故答案为:(-∞,-1]
点评 本题考察了函数的单调性,导数的应用,渗透了分类讨论思想,是一道综合题.
练习册系列答案
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