题目内容

已知函数f(x)=sinxcosx+
3
cos2x-
3
2

（1）求y=f（x）在x∈[0，
π
2
]上的单调区间和值域；
（2）把y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位后得到的图象，其大于零的零点从小到大组成数列{xn}，求数列{xn}的前n项和Sn．
分析：（1）利用二倍角公式与两角和的正弦函数化简y=f（x），利用正弦函数单调增区间和单调减区间，解出函数的单调区间；
（2）通过左加右减的原则求出y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位后得到的图象对应的解析式，其大于零的零点从小到大组成数列{xn}，然后求解数列{xn}的前n项和Sn
解答：解：（1）f(x)=sinxcosx+
3
cos2x-
3
2
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x=sin(2x+
π
3
)，
当x∈[0，
π
2
]时，
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，-
3
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1，
故值域为[-
3
2
，1]，
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
 k ∈Z，解得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
 ， k ∈Z，
k=0时，解得-
5π
12
≤x≤
π
12
，又x∈[0，
π
2
]
所以当x∈[0，
π
12
]上函数f(x)=sin(2x+
π
3
)单调递增，
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
  ，k ∈Z，解得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
， k ∈Z，
k=0时，解得
π
12
≤x≤
7π
12
，，又x∈[0，
π
2
]
所以当x∈[
π
12
，
π
2
]上函数f(x)=sin(2x+
π
3
)递减
综上，在区间[0，
π
12
]上函数f(x)=sin(2x+
π
3
)单调递增，在区间[
π
12
，
π
2
]上函数f(x)=sin(2x+
π
3
)递减．       
（2）f(x)=sin(2x+
π
3
)右平移
π
6
个单位后得到g（x）=sin2x，
令g(x)=sin2x=0⇒xn=
nπ
2
(n∈N+)，数列{xn}是以
π
2
为首项，以
π
2
为公差的等差数列
故其前n项和为Sn=
π
2
•n+
n(n-1)
2
•
π
2
=
π
4
n(n+1)，
点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和的正弦函数的应用，考查函数与数列相结合的问题，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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