Question

如图，中国在索马里海域值勤的A船接到B处一货船遇险求救信号，A船立即前往营救，同时把消息告知在A船东偏北60°相距10n，mil的C船，此时C船在B的正西方，相距20n，mil处．
（1）求A船与B船间的距离．
（2）设A船沿直线方向前往B处，其方向与

AB

成θ角求f（x）=7sin²θ•cos2x+2

3

，cos2(x+

π

4

)的值域及单调减区间．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由已知得到：∠BCA=120°，BC=20，AC=10，再由余弦定理得AB的长，即A船与B船间的距离；
（2）在△ABC中，先由正弦定理得角A的正弦值，从而得出f（x）的表达式，再利用二倍角公式化成：2

3

cos(2x+

π

6

)+

3

的形式，最后利用三角函数的性质救是值域，单调减区间即可．

解答：解：（1）在△ABC中，已知∠BCA=120°，BC=20AC=10由余弦定理得：AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos20°=700，∴AB=10

7

即A船与B船间的距离为10

7

n，mil（4分）
（2）在△ABC中，由正弦定理得

BC

sim?

=

AB

sim120°

，即

20

sim?

=

10 7

sim120°

∴sim?=

21

7

（7分）
f(x)=7×

3

7

cos2x+2

3

•

1+cos(2x+ π 2 )

2

=3cos2x+

3

-

3

sin2x=2

3

cos(2x+

π

6

)+

3

（9分）
故值域[-

3

，，3

3

]，单调减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]k∈z（12分）

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了余弦定理，利用已知的边和角建立方程求得距离．