Question

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设切点（x，y），根据函数在x处的导数等于-1，以及切点在切线上又在曲线上建立方程组，可求出a与b的等式关系，最后求出b的范围即可；
（II）利用定积分表示出此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，然后利用定积分的运算法则求出面积S，最后利用导数研究函数的最值即可，同时求出此时的a和b．
解答：解：（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x，y）
则f′（x）=2ax+b=-1，∴
又∵得，∵0＜x，0＜y，，解得b＞1
（II），；
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本知识、基本运算，属于中档题．