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(08年长宁区质量抽测文) 在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线相交于两点,如图,设动点

(1)求证:为定值;

(2)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;

(3)求证:直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值。

 

解析:(1)当直线垂直于轴时,,因此(定值);

当直线不垂直于轴时,设直线的方程为:

因此有为定值。

(2)

当直线垂直于轴时,

当直线不垂直于轴时,由(1)知  因此

综上,面积的最小值为

(3)中点

,因此以为直径的圆的半径

中点到直线的距离

所截弦长为:(定值)。

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