Question

例1：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=

x2

，g（x）=

3	x3

；
（2）f（x）=

|x|

x

，g（x）=

1      x≥0 -1    x＜0

（3）f（x）=

2n+1	x2n+1

，g（x）=（

2n-1	x

）^2n-1（n∈N^*）；
（4）f（x）=

x

x+1

，g（x）=

x2+x

；
（5）f（x）=x²-2x-1，g（t）=t²-2t-1．

Answer 1

分析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．

解答：解：（1）由于f（x）=

x2

=|x|，g（x）=

3	x3

=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数．
（2）由于函数f（x）=

|x|

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=

1      x≥0 -1    x＜0

的定义域为R，所以它们不是同一函数．
（3）由于当n∈N^*时，2n±1为奇数，∴f（x）=

2n+1	x2n+1

=x，g（x）=（

2n-1	x

）^2n-1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数．
（4）由于函数f（x）=

x

x+1

的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=

x2+x

的定义域为{x|x≤-1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数．
故（3）（5）都表示同一函数．

点评：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透．要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x²+1，f（t）=t²+1，f（u+1）=（u+1）²+1都可视为同一函数．
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数．