题目内容

在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）
①因为{an}是等方差数列，所以an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数）成立，
得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
②因为an2-an-12=（-1）2n-（-1）2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）n}是等方差数列；
③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak+1，ak+2，…，a2k，…，a3k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
因为ak+12-ak2=ak+22-ak+12=ak+32-ak+22=…=a2k2-ak2=p
所以（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=a2k2-ak2=kp，
类似地有akn2-akn-12=akn-12-akn-22=…=akn+32-akn+22=akn+22-akn+12=akn+12-akn2=p
同上连加可得akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列；
④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以an2-an-12=p，且an-an-1=d（d≠0），所以an+an-1=
p
d
，联立解得an=
d
2
+
p
2d
，
所以{an}为常数列，当d=0时，显然{an}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④
练习册系列答案
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在数列{an}中，若a1=
1
2
，an=
1
1-an-1
（n≥2，n∈N*），则a2010等于
 
．
在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（　　）
A、①②③B、①②④C、①②③④D、②③④
在数列{an}中，若a1=2，an=
1
1-an-1
(n≥2，n∈N*)，则a7等于（　　）
在数列{an}中，若a1=2，a2=6，且当n∈N*时，an+2是an•an+1的个位数字，则a2011=（　　）
已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an+1=
a n
2
；当an为奇数时，an+1=
an+1
2
．在数列{an}中，若当n≥k时，an=1，当1≤n＜k时，an＞1（k≥2，k∈N*），则首项a1可取数值的个数为
 
（用k表示）．

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