题目内容
已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
（1）奇函数（2）存在实数t＝－
，
【解析】(1)∵f(x)＝ex－
x，且y＝ex是增函数，y＝－
x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立
?f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立
?x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立
?t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立
?
2≤
对一切x∈R恒成立
?
2≤0?t＝－
.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
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