Question

【题目】如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

Answer 1

【答案】
（1）解：分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系

则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0， ， ），D（ ，0，0）

设BE=x，则E（x，1，0）

∴ =（x，1，﹣1）

得 =x0+1× +（﹣1）× =0

可得 ，即AF⊥PE成立

（2）解：求出 =（ ，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为

则 ，得

∵PA与平面PDE所成角的大小为45°， =（0，0，1）

∴sin45°= = ，得 =

解之得x= 或x=

∵BE=x ，

∴BE= ，即当BE等于 时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

【解析】（1）建立如图所示空间坐标系，得出P、B、F、D的坐标．设BE=x得E（x，1，0），算出 的坐标，得出 ，由此可得无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出 是平面PDE的一个法向量，结合 =（0，0，1）与题中PA与平面PDE所成角，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程，解出x的值即可得到PA与平面PDE所成角的大小为45°时，BE的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行，以及对用空间向量求直线与平面的夹角的理解，了解设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：．