Question

某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+

2

75

x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：P²=

k

x

，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？

Answer 1

分析：利用100件产品单价50万求出常量k，确定出p关于x的解析式，利润=单价-成本．总利润l（x）=p-c．求出l的导数，令导数=0时，函数有最值求出可得．

解答：解：由题意知有：502=

k

100

，解得：k=25×10⁴，
∴P=

25×104 x

=

500

x

；
∴总利润L（x）=x•

500

x

-1200-

2

75

x3=500

x

-1200-

2

75

x3，
∴L′（x）=250x-

1

2

-

2

25

x2；
令L′（x）=0则有：x=25（件）
∴当x=25件时，总利润最大．

点评：考查学生利用导数求闭区间上函数的最值．