Question

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.

（1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.

Answer 1

（1）证明见解析（2）在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-

解析:

（1）证明 ∵f（x+2）=-f（x），

∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），                           2分

∴f（x）是以4为周期的周期函数，                           4分

（2）解  当0≤x≤1时，f(x)=x,

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.

∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,

∴-f（x）=-x，即f(x)=x.                                  7分

故f(x)= x(-1≤x≤1)                                           8分

又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,

∴f(x-2)= (x-2),                                           10分

又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），

∴-f（x）=（x-2），

∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.                          11分

∴f（x）=                         12分

由f(x)=- ,解得x=-1.

∵f（x）是以4为周期的周期函数.

∴f(x)=- 的所有x=4n-1 (n∈Z).                                14分

令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,

又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,

∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=- .                           16分