题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ ．
（1）求证： $数学公式$ 为等差数列；
（2）求a_n；
（3）若b_n=2•（1-n）•a_n，求 $数学公式$ ．

解：（1）当n≥2时，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0
故 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 为首项为2，公差为2的等差数列．
（2）易知 $\text{[math]}$ ，
当n≥2时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）易知b₁=1-1=0，n≥2时 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）当n≥2时，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0，从而可得 $\text{[math]}$ 即证．
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，利用递推公式 $\text{[math]}$ 及a₁=S₁可求
（3）易知b₁=0，n≥2时 $\text{[math]}$ ．代入可求极限
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式 $\text{[math]}$ 及a₁=S₁求解数列的通项公式，数列极限的求解，属于中档试题

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