题目内容
(理)已知:fn(x)=a1x+a2x2+…+anxn,fn(-1)=(-1)n·n,n=1,2,3,….(1)求a1、a2、a3;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求证:fn(
)＜1.
(文)设函数f(x)=2ax3-(6a+3)x2+12x(a∈R),
(1)当a=1时,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
答案：(理)解：(1)由已知f1(-1)=-a1=-1,所以a1=1.
f2(-1)=-a1+a2=2,所以a2=3.f3(-1)=-a1+a2-a3=-3,所以a3=5.
(2)∵(-1)n+1·an+1=fn+1(-1)-fn(-1)=(-1)n+1·(n+1)-(-1)n·n,∴an+1=(n+1)+n,
即an+1=2n+1.所以对于任意的n=1,2,3,…,an=2n-1.
(3)fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,∴fn(
)=
+3(
)2+5(
)3+…+(2n-1)(
)n.①
·fn(
)=(
)2+3(
)3+5(
)4+…+(2n-1)(
)n+1.②
①-②,得
fn(
)=
+2(
)2+2(
)3+…+2(
)n-(2n-1)(
)n+1
-(2n-1)(
)n+1
.∴fn(
)=1-
,
又n=1,2,3,…,故fn(
)＜1.
(文)解：(1)当a=1时,f(x)=2x3-9x2+12x.
∴f′(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2).
令f′(x)=0,得x1=1,x2=2.
列表
x | (-∞,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
?
∴f(x)的极大值为f(1)=5,f(x)的极小值为f(2)=4.
(2)f′(x)=6ax2-(12a+6)x+12=6[ax2-(2a+1)x+2]=6(ax-1)(x-2).
①若a=0,则f(x)=-3x2+12x,此函数在(-∞,2)上单调递增,满足题意.
②若a≠0,则令f′(x)=0,得x1=2,x2=
,由已知,f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,即当x＜1时,f′(x)≥0恒成立,
若a＞0,则只需
≥1,即0＜a≤1,
若a＜0,则
＜0,当x＜
时,f′(x)＜0,则f(x)在区间(-∞,1)上不是增函数.综上所述,实数a的取值范围是[0,1].
，已知f(x)＝ .
，已知f(x)＝ .
) + f2(