题目内容
已知双曲线E:
-
=1的离心率为2,过点P(0,-2)的直线l与双曲线E交于不同的两点M,N.
(I)当
=2
求直线l的方程;
(II)设t=
•
+
•
(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
x2 |
m |
y2 |
12 |
(I)当
PM |
PN |
(II)设t=
OM |
OP |
OM |
PN |
分析:(I)由题设知a2=m,b2=12,c2=m+12,e2=
=
=4,由此得到双曲线E的方程为
-
=1,设直线l的方程为:y=kx-2,点M(x1,kx1-2),N(x2,kx2-2),再由根的判别式和韦达定理,结合题设条件能求出直线l的方程.
(II)t=
•
+
•
=
•
=12+
,再由0≤k2<4,且k2≠3,能求出实数t的取值范围.
c2 |
a2 |
m+12 |
m |
x2 |
4 |
y2 |
12 |
(II)t=
OM |
OP |
OM |
PN |
OM |
ON |
40 |
k2-3 |
解答:解:(I)∵双曲线E:
-
=1的离心率为2,
∴a2=m,b2=12,c2=m+12,e2=
=
=4,
∴m=4,双曲线E的方程为
-
=1,
当直线l与x轴垂直时,直线l与双曲线没有交点,
设直线l的方程为:y=kx-2,
点M(x1,kx1-2),N(x2,kx2-2),
当
=2
时,x1=2x2,
,
∴x1x2=2(
)2,①
y=kx-2代入
-
=1,得:(3-k2)x2+4kx-16=0,
3-k2≠0,且△=16k2-4(3-k2)(-16)>0,
即-2<k<2,且k≠±
,
∵
,
代入①得9×
=2(
)2,解得k=±
,
满足△>0,所以直线l的方程为y=±
x-2.
(II)t=
•
+
•
=
(
+
)=
•
=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4
=(k2+1)•
-2k•
+4
=12+
,
∵0≤k2<4,且k2≠3,
∴
>40,或
≤-
,
∴t>52,或t≤-20.
x2 |
m |
y2 |
12 |
∴a2=m,b2=12,c2=m+12,e2=
c2 |
a2 |
m+12 |
m |
∴m=4,双曲线E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
12 |
当直线l与x轴垂直时,直线l与双曲线没有交点,
设直线l的方程为:y=kx-2,
点M(x1,kx1-2),N(x2,kx2-2),
当
PM |
PN |
|
∴x1x2=2(
x1+x2 |
3 |
y=kx-2代入
x2 |
4 |
y2 |
12 |
3-k2≠0,且△=16k2-4(3-k2)(-16)>0,
即-2<k<2,且k≠±
3 |
∵
|
代入①得9×
16 |
k2-3 |
4k |
k2-3 |
3
| ||
7 |
满足△>0,所以直线l的方程为y=±
3
| ||
7 |
(II)t=
OM |
OP |
OM |
PN |
OM |
OP |
PN |
OM |
ON |
=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4
=(k2+1)•
16 |
k2-3 |
4k |
k2-3 |
=12+
40 |
k2-3 |
∵0≤k2<4,且k2≠3,
∴
40 |
k2-3 |
40 |
k2-3 |
40 |
3 |
∴t>52,或t≤-20.
点评:本题考查直线方程的求法和求实数的取值范围,具体涉及到双曲线的简单性质、向量知识、直线和圆锥曲线的位置关系等基本知识点,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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已知椭圆C1:
-
=1与双曲线C2:
+
=1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e的取值范围为( )
x2 |
m+2 |
y2 |
n |
x2 |
m |
y2 |
n |
A、(
| ||||
B、(0,
| ||||
C、(0,1) | ||||
D、(0,
|