题目内容

已知双曲线E:
x2
m
-
y2
12
=1
的离心率为2,过点P(0,-2)的直线l与双曲线E交于不同的两点M,N.
(I)当
PM
=2
PN
求直线l的方程;
(II)设t=
OM
OP
+
OM
PN
(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
分析:(I)由题设知a2=m,b2=12,c2=m+12,e2=
c2
a2
=
m+12
m
=4
,由此得到双曲线E的方程为
x2
4
-
y2
12
=1
,设直线l的方程为:y=kx-2,点M(x1,kx1-2),N(x2,kx2-2),再由根的判别式和韦达定理,结合题设条件能求出直线l的方程.
(II)t=
OM
OP
+
OM
PN
=
OM
ON
=12+
40
k2-3
,再由0≤k2<4,且k2≠3,能求出实数t的取值范围.
解答:解:(I)∵双曲线E:
x2
m
-
y2
12
=1
的离心率为2,
∴a2=m,b2=12,c2=m+12,e2=
c2
a2
=
m+12
m
=4

∴m=4,双曲线E的方程为
x2
4
-
y2
12
=1

当直线l与x轴垂直时,直线l与双曲线没有交点,
设直线l的方程为:y=kx-2,
点M(x1,kx1-2),N(x2,kx2-2),
PM
=2
PN
时,x1=2x2
x1+x2=3x2
x1x2=2x22

x1x2=2(
x1+x2
3
)2
,①
y=kx-2代入
x2
4
-
y2
12
=1
,得:(3-k2)x2+4kx-16=0,
3-k2≠0,且△=16k2-4(3-k2)(-16)>0,
即-2<k<2,且k≠±
3

x1+x2=
4k
k2-3
x1x2=
16
k2-3

代入①得9×
16
k2-3
=2(
4k
k2-3
2,解得k=±
3
21
7

满足△>0,所以直线l的方程为y=±
3
21
7
x-2

(II)t=
OM
OP
+
OM
PN
=
OM
(
OP
+
PN
)
=
OM
ON

=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4
=(k2+1)•
16
k2-3
-2k•
4k
k2-3
+4

=12+
40
k2-3

∵0≤k2<4,且k2≠3,
40
k2-3
>40
,或
40
k2-3
≤-
40
3

∴t>52,或t≤-20.
点评:本题考查直线方程的求法和求实数的取值范围,具体涉及到双曲线的简单性质、向量知识、直线和圆锥曲线的位置关系等基本知识点,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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