Question

如图，已知圆心坐标为M(

3

，1)的⊙M与x轴及直线y=

3

x均相切，切点分别为A、B，另一个圆⊙N与⊙M、x轴及直线y=

3

x均相切，切点分别为C、D．
（1）求⊙M和⊙N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被⊙N截得的弦的长度．

Answer 1

分析：（1）连接MA，根据⊙M与x轴相切得MA⊥OA，根据圆心坐标M(

3

，1)得到圆的半径为1，写出⊙M的方程；设出⊙N的半径r，利用相似求出r，并求出圆心N的坐标，即可得到⊙N的方程；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点A且与直线MN平行的直线被⊙N截得的弦长，根据点A的坐标和直线MN的斜率求出弦长的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心N到弦的弦心距，然后利用勾股定理即可求出弦．

解答：解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，
同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线；
∵M的坐标为(

3

，1)，
∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
∴⊙M的方程为(x-

3

)2+(y-1)2=1，
设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、MC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即

2

3+r

=

1

r

，解得r=3；
∴OC=3

3

，点N坐标为(3

3

，3)；
∴⊙N的方程为(x-3

3

)2+(y-3)2=9．
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点A且与直线MN平行的直线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y=

3

3

(x-

3

)，即：x-

3

y-

3

=0，
∵圆心N到该弦的距离d=

3

2

，
∴所求弦长=2

r2-d2

=

33

．

点评：这是一道直线与圆的方程的综合运用题，主要考查学生会利用垂径定理得直角三角形求弦长的方法，同时要求学生掌握点到直线的距离公式．