Question

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为

81

5

．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求T^（2）的前2007项之和；
（3）（理）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表达式，并求出S_n取最大值时n的值．
②求正整数m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．
（文）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表达式，并求正整数m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．

Answer 1

分析：（1）依题意，利用等比数列前n项和公式可以出一个方程组，解这个方程组，得到数列{a_n}的首项a₁和公比q．
（2）由an=3×(

2

3

)n-1，知数列T^（2）的首项为t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，由此能求出T^（2）的前2007项之和．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；①Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；由此计算得b1=3，b2=5，b3=

14

3

，b4=

29

9

，b5=

4

3

，b6=-

53

81

＜0，所以S_n当n=5时取最大值．②

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，由此分类讨论进行求解．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，由此分类讨论进行求解．

解答：解：（1）依题意可知，

a1 1-q =9 a21 1-q2 = 81 5

?

a1=3 q= 2 3

．
（2）由（1）知，an=3×(

2

3

)n-1，所以数列T^（2）的首项为t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，S2007=2007×2+

1

2

×2007×2006×3=6043077，即数列的前2007项之和为6043077．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；
①Sn=45-(18n+45)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；
由

bn≥bn-1 bn≥bn+1

，解得n=2，
计算可得b1=3，b2=5，b3=

14

3

，b4=

29

9

，b5=

4

3

，b6=-

53

81

＜0，
因为当n≥2时，b_n＞b_n+1，所以S_n当n=5时取最大值．
②

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，
当m=2时，

lim

n→∞

Sn

nm

=-

1

2

，当m＞2时，

lim

n→∞

Sn

nm

=0，所以m=2．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，
当m=2时，

lim

n→∞

Sn

nm

=-

1

2

，当m＞2时，

lim

n→∞

Sn

nm

=0，所以m=2．

点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．