题目内容

 

20.(本大题满分13分)

在△ABC中,,点B是椭圆的上顶点,l是双曲线位于x轴下方的准线,当AC在直线l上运动时.

(1)求△ABC外接圆的圆心的轨迹E的方程;

(2)过定点F(0,)作互相垂直的直线l1l2,分别交轨迹E于点MN和点RQ.求四边形MRNQ的面积的最小值.

   72.  


解析:

(1)解:由椭圆方程及双曲线方程可得点B(0,2),直线l的方程是,且AC在直线l上运动.

可设,则AC的垂直平分线方程为 ①

AB的垂直平分线方程为 ②    

P是△ABC的外接圆圆心,P的坐标(xy)满足方程①和②.

由①和②联立消去m得:,即.

故圆心P的轨迹E的方程为

 (2)解:如图,直线l1l2的斜率存在且不为零,设l1的方程为

l1l2,∴l2的方程为

,∴直线l1与轨迹E交于两点.

M(x1y1), N(x2y2),则

同理可得:     

∴四边形MRNQ的面积

当且仅当,即时,等号成立.故四边形MRNQ的面积的最小值为72.    

【说明】湖北省黄冈中学2009届高三2月月考数学试题(理)学科网

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