题目内容
20.(本大题满分13分)
在△ABC中,,点B是椭圆的上顶点,l是双曲线位于x轴下方的准线,当AC在直线l上运动时.
(1)求△ABC外接圆的圆心的轨迹E的方程;
(2)过定点F(0,)作互相垂直的直线l1、l2,分别交轨迹E于点M、N和点R、Q.求四边形MRNQ的面积的最小值.
72.
解析:
(1)解:由椭圆方程及双曲线方程可得点B(0,2),直线l的方程是. ,且AC在直线l上运动.
可设,则AC的垂直平分线方程为 ①
AB的垂直平分线方程为 ②
∵P是△ABC的外接圆圆心,点P的坐标(x,y)满足方程①和②.
由①和②联立消去m得:,即.
故圆心P的轨迹E的方程为
(2)解:如图,直线l1和l2的斜率存在且不为零,设l1的方程为
∵l1⊥l2,∴l2的方程为
由得,∴直线l1与轨迹E交于两点.
设M(x1,y1), N(x2,y2),则
∴
同理可得:
∴四边形MRNQ的面积
≥
当且仅当,即时,等号成立.故四边形MRNQ的面积的最小值为72.
【说明】湖北省黄冈中学2009届高三2月月考数学试题(理)学科网
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