题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题：
（1）任意三次函数都关于点
对称；
（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；
（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
（4）若函数
，则
其中正确命题的序号为（ ）
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| A． | （1）（2）（4） | B． | （1）（2）（3）（4） | C． | （1）（2）（3） | D． | （2）（3） |
考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
新定义．
分析：
（1）利用新定义，可知（1）正确；
（2）由（1）知，x0=﹣
，代入f'（x）=0，可得b2=3ac，由此可得结论；
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心；
（4）求出对称中心，即可得到结论．
解答：
解：（1）由题意，f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=﹣，∴任意三次函数都关于点
对称，故（1）正确；
（2）由（1）知，x0=﹣，代入f'（x）=0，可得
，∴b2=3ac，此时，存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确；
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；
（4）∵
，∴g′（x）=x2﹣x
∴g″（x）=2x﹣1
令g″（x）=0，可得x=
，∴g（1）=﹣
∴的对称中心为
∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1
∴
，即（4）正确，
故选A．
点评：
本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．
