题目内容

若实数x、y同时满足：3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，则log₃x+log₃y的最大值是________．

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分析：先画出二元一次不等式组表示的平面区域ABC，然后令z=xy＞0 则y= $\text{[math]}$ ，画出函数y= $\text{[math]}$ 的图象，当函数y= $\text{[math]}$ 与AB相切时z最大，从而利用判别式求出z的最值，从而求出log₃x+log₃y的最大值．
解答：先画出区域3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，

表示图中阴影部分及为三角形ABC
令z=xy＞0 则y= $\text{[math]}$
画出函数y= $\text{[math]}$ 的图象，当函数y= $\text{[math]}$ 与AB相切时z最大
$\text{[math]}$ 即3x+4× $\text{[math]}$ =12
∴3x²-12x+4z=0只有一个根则144-48z=0
即z=3
∴xy的最大值是3
log₃x+log₃y=log₃xy≤log₃3=1
故答案为：1
点评：本题主要考查了简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域，属于中档题．