题目内容

若不等式组 $数学公式$ 表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=；
（2）当k＞1时， $数学公式$ 的最小值为．

解：（1）∵直线l：y=-kx+4k=-k（x-4）

∴直线l经过点A（4，0），令x=0，得y=4k，直线l交y轴于点B（0，4k）
因此，不等式组 $\text{[math]}$ 表示的区域是图中△AOB，
其面积为S= $\text{[math]}$ =8k=2，解之得k= $\text{[math]}$ ；
（2）由（1），得S=8k，可得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中k＞1
$\text{[math]}$ =8（k-1）+ $\text{[math]}$ +16，
∵8（k-1）+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =16
∴当且仅当8（k-1）= $\text{[math]}$ 时，即k=2时，8（k-1）+ $\text{[math]}$ 的最小值为16，
由此可得 $\text{[math]}$ ≥16+16=32，即k＞1时， $\text{[math]}$ 的最小值为32
故答案为： $\text{[math]}$ ，32
分析：（1）根据题意，可得直线l：y=-kx+4k与x、y的正半轴分别交于点A（4，0），B（0，4k），进而得到不等式表示的平面区域是图中△AOB，结合题意建立关于k的方程并解之，即可得到实数k的值；
（2）结合（1）的计算，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中k＞1．然后利用配凑的方法，结合基本不等式求最值，得当且仅当k=2时， $\text{[math]}$ 的最小值为32．
点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求与区域面积有关的一个最小值，着重考查了简单线性规划及其应用和二元一次不等式的处理等知识，属于基础题．