Question

已知-3≤log

1

2

x≤-1，f(x)=[log2(4m•x)]•(log2

4

x

)(m∈R)．
（1）求函数f（x）的最大值g（m）的解析式；
（2）若g（m）≥t+m+2对任意m∈[-4，0]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=y∈[1，3]，可得f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，讨论对称轴 y=1-m，得 函数f（x）的最大值g（m）的解析式．
（2）根据题意：t≤g（m）-m-2对任意的m∈[-4，0]恒成立，①当m∈[-4，-2）时，t≤-3m-5，可得t≤1．②当m∈[-2，0]时，t≤m²+m-1恒成立，求得t≤-

5

4

，综合可得实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵-3≤log

1

2

x≤-1，∴1≤log₂x≤3，
∵f（x）=（2m+log₂x）（2-log₂x），令log₂x=y∈[1，3]，
∴f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，…（4分）
讨论对称轴 y=1-m，得  g(m)=

2m+1  ， (m＞0) m2+2m+1 ， (-2≤m≤0) -2m-3 ， (m＜-2)

．…（10分）
（2）根据题意：t≤g（m）-m-2对任意的m∈[-4，0]恒成立，
①当m∈[-4，-2）时，t≤-3m-5，由于-3m-5关于m单调递减，∴t≤-3（-2）-5=1．…（12分）
②当m∈[-2，0]时，t≤m²+m-1，
而(m2+m-1)min=(-

1

2

)2+(-

1

2

)-1=-

5

4

，∴t≤-

5

4

．…（15分）
综上，t≤-

5

4

．…（16分）

点评：本题主要考查对数函数的值域，二次函数的性质应用以及函数的恒成立问题，属于中档题．