Question

某企业为适应市场需求，准备投入资金20万生产W和R型两种产品．经市场预测，生产W型产品所获利润y_w（万元）与投入资金x_w（万元）成正比例关系，又估计当投入资金6万元时，可获利润1.2万元．生产R型产品所获利润y_R（万元）与投入资金x_R（万元）的关系满足yR=

5

4

xR

，为获得最大利润，问生产W，R型两种产品各应投入资金多少万元？获得的最大利润是多少？（精确到0.01万元）

Answer 1

分析：若设生产R型产品投入资金为x万元，则生产W型产品投入资金为（20-x）万元，所获总利润y=

1.2

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，通过换元，令

x

=t，则y=-

1

5

t²+

5

4

t+4，根据二次函数的性质容易求得y的最大值以及对应的x的值．

解答：解：设生产R型产品投入资金为x万元，则生产W型产品的投入资金为（20-x）万元，所获总利润为y万元．
则由题意，得：y=

1.2

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，
令

x

=t，则y=-

1

5

t²+

5

4

t+4=-

1

5

（t-

25

8

）²+4+

125

64

所以t=

25

8

，即x=

625

64

时，y取最大值5.95（万元）
此时，20-

625

64

=

655

64

（万元）
所以，生产W型产品投入资金

655

64

万元，R型产品投入

625

64

万元时，获得最大总利润，是5.95万元．

点评：本题通过换元法，考查了二次函数模型的应用，并且利用二次函数的性质求其最值问题，是基础题．