Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点．

（Ⅰ）如果，点的横坐标为，求的值；
（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于C点，设角、、的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；
（III）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）证明略
（III）的外接圆的面积为.

(I)已知是锐角，根据三角函数的定义,可求出.
再根据求出，从而再根据两角和的余弦公式求解即可.
(II) 依题意得，，，,因为，所以，，于是有，
下面解题的关键是,
同理，,这样就证明三角形两边之和大于第三边，从而说明线段MA、NB、PC能构成一个三角形.
(3) 不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：
=…..
然后再利用正弦定理，求出外接圆半径，从而证明其外接圆面积为定值