Question

是否存在这样的实数a，使函数f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在区间[-1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在a符合题意，然后将问题转化为函数零点存在性的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答，注意验证．

解答：解：若实数a满足条件，则只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-

1

5

或a≥1．
检验：（1）当f（-1）=0时，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有两根，不合题意，
故a≠1．
（2）当f（3）=0时，a=-

1

5

，此时f（x）=x²-

13

5

x-

6

5

．令f（x）=0，即x²-

13

5

x-

6

5

=0，解之得x=-

2

5

或x=3．方程在[-1，3]上有两根，不合题意，故a≠-

1

5

．
综上所述：a的取值范围为a＜-

1

5

或a＞1．

点评：此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、零点存在性知识以及结果验证的技巧．值得同学们体会反思．