Question

已知函数f（x）=（x²+mx+n）e^x，m、n∈R：
（1）若f（x）在x=0处取到极值，试讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）无极值，且

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，m的范围是A，n的范围是B，求A∪B．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得，f′（0）=0，代入可求m+n=0，，代入m+n=0，的值，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（2）根据f（x）无极值，得到△=（m+2）²-4（m+n）≤0，即m²-4n+4≤0，把

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，化简得

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=4，利用导数的定义可得m+n=4并代入△，即可求得集合A，集合B，从而求得A∪B．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+m）•e^x+（x²⁺mx+n）•e^x=[x²+（m+2）x+m+n]e^x，
由题意得f'（0）=0，得m+n=0，即f'（x）=[x²+（m+2）x]e^x，
当m＜-2时，x∈（-∞，0），（-m-2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，-m-2）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当m＞-2时，函数f（x）在（-∞，-m-2），（0，+∞）单调递增；在（-m-2，0）上单调递减，
当m=-2时，不合题意．
（2）由题意△=（m+2）²-4（m+n）≤0，即m²-4n+4≤0，
∵

lim

n→0

f(x)-n

x

=4，即

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=4，
f′（0）=4，
∴m+n=4，即n=4-m，
m²≤4（4-m-1），即m²+4m-12≤0，
∴m∈[-6，2]，n∈[2，10]
∴A∪B=[-6，10]．

点评：此题是中档题．考查利用导数研究函数的极值和单调性，以及导数的定义和集合的并集运算，综合性强，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．