Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：f(

n

n-1

)＞0，且不等式lnn＞Inn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得当x∈[1，+∞）时，不等式a≥

1

x

恒成立，求出

1

x

的最大值，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

确定函数f（x）在[

1

2

，2]上的单调性，即可求得函数的最大值与最小值；
（Ⅲ）当a=1时，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函数，可证明ln

n

n-1

＞

1

n

，叠加，即可证得结论．

解答：（I）解：由题设可得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
∵函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0即a≥

1

x

恒成立．
∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

的最大值为1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）；------------（4分）
（Ⅱ）解：当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

∴当x∈[

1

2

，1)时，f'（x）＜0，于是f（x）在[

1

2

，1)上单调递减；
当x∈（1，2]时，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上单调递增．
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

＞0⇒f(

1

2

)＞f(2)
综上所述，当x=1时，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最小值为f（1）=0，当x=

1

2

时，
函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f(

1

2

)=1-ln2--------------------（8分）
（Ⅲ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上是增函数
∴对于任意的正整数n＞1，有

n

n-1

＞1，则f(

n

n-1

)＞f(1)=0--------------（10分）
而f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．
而ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn，
则lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

成立----------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是确定函数的单调性．