题目内容
11.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥AC,PA=PB=PC=3,AB=2$\sqrt{3}$,AC=2,(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求三棱锥P-ABC的体积.
分析 (Ⅰ)设D为BC的中点,连结AD,DP,证明平面PBC⊥平面ABC,只需证明PD⊥平面ABC,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)PD⊥平面ABC,所以VP-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$,即可求出三棱锥P-ABC的体积.
解答 (Ⅰ)证明:设D为BC的中点,连结AD,DP.
因为AD⊥AC,所以DA=DB=DC.
因为PA=PB=PC,所以△PAD≌△PBD≌△PCD,
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,
即PD⊥平面ABC
因为PD?平面PBC,
所以平面PBC⊥平面ABC.…(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)PD⊥平面ABC
所以VP-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\sqrt{9-4}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$.…(12分)
点评 本题考查面面垂直,考查三棱锥P-ABC的体积,考查学生分析解决问题的能力,正确运用面面垂直的判定定理是关键.
练习册系列答案
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4.函数f(x)=tan(3x+φ)的图象关于点M($\frac{π}{4}$,0)成中心对称,则φ等于( )
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