Question

已知向量，，，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 利用两个向量平行的性质以及奇函数的定义，求出和c的值．
（Ⅱ） 由导数小于0得到函数的减区间，又已知减区间，故有[，a²]⊆[0，2a]，故有，，
再结合（Ⅰ）知b=-3a，可得b的取值范围．
（Ⅲ） 利用曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（x）（x-t），得（x-t）²（x+2t-6）=0，则x=t或x=-2t+6，而A，B不重合，则m=-2t+6，S（t）=|m-t|•|f（m）-f（t）|，=t（t-2）²（4-t），记k_PD =g（t），g′（t）=-（3t-2）（t-2），利用g′（t）的符号列表求出g（t）的最值，即得k_PD的范围．
解答：解：（Ⅰ）∵=（x²，y-cx），=（1，x+b），∥∴x²（x+b）=y-cx，
∴f（x）=x³+bx²+cx，f′（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）+af′（x）=x³+（3a+b）x²+（2b+c）x+ac 为奇函数
∴F（-x）=-F（x），∴3a+b=0，ac=0，而a＞0，
∴=-3，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x³-3ax²，f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
由f′（x）＜0，得0＜x＜2a，故f（x）的单调递减区间为[0，2a]，
若函数f（x）在[，a²]上单调递减，则[，a²]⊆[0，2a]，??＜a＜2，
而由（Ⅰ）知b=-3a，故-6＜b＜-．
（Ⅲ）当a=2时，由（Ⅰ）知b=-6，∴f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x²-12x．
曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（x）（x-t），其中f′（x）=3t²-12t．
联立y=f（x）与y-f（t）=f′（x）（x-t），得 f（x）-f（t）=f′（x）（x-t），
∴x³-6x²-t³+6t² =（3t²-12t）（x-t），∴（x³-t³）-6（x²-t²）-（3t²-12t）（x-t）=0，
∴（x-t）（x²+tx+t²-6x-6t-3t²+12t）=0，∴（x-t）[x²+（t-6）x-t（2t-6）]=0，
∴（x-t）²（x+2t-6）=0
则x=t或x=-2t+6，而A，B不重合，则m=-2t+6，
S（t）=|m-t|•|f（m）-f（t）|=|6-3t|•|（6-2t）³-6（6-2t）²-t³+6t²|
=|6-3t|•|-9t³+54t²-72t|=|t-2|•|t（t-2）（t-4）|=t（t-2）²（4-t），
其中t∈（0，2）∪（2，4）．
记k_PD =g（t）==-t（t-2）² =-（t³-4t²+4t），
∴g′（t）=-（3t²-8t+4）=-（3t-2）（t-2），t∈（0，2）∪（2，4）．
列表如下：

t	（0，）		（，2）	2	（2，4）
g′（t）	-		+		-
g（t）	↘	极小值	↗	极大值	↘

又g（0）=0，g（）=-16，g（2）=0，g（4）=-216，
由表可知：-216＜g（t）≤0，即-216＜k_PD≤0．
点评：本题考查两个向量平行的性质，函数的单调性与导数的关系，以及利用导数求函数的最大值、最小值．