Question

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(Ⅰ)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(Ⅱ)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A₁B₃、A₃B₅所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

Answer 1

解：(Ⅰ)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r+2h)=9.6， 即2r+h=1.2， S=2πrh +πr2=πr(2.4-3r) =3π[-（r-0.4）2+0.16]，其中0＜r＜0.6， ∴当半径r=0.4（米）时，Smax=0.48π≈1.51（平方米）。
(Ⅱ)当r=0.3时，由2r+h=1.2，解得圆柱的高h=0.6（米）． 如图所示，以直线A3A7、A1A5及圆柱的轴为x、y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则有A1(0，-0.3，0)，B3(0.3，0，0.6)， A3(0.3，0，0)，B5(0，0.3，0.6)， ， 异面直线A1B3、A3B5所成角α有 ， ∴两根霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为。