题目内容

已知函数f（x）=（x-2）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=3，a_n+1=a_n- $数学公式$
（I）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

解：（I）f′（x）=2（x-2），由 $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由题意 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ （9分）
令 $\text{[math]}$ ①
①× $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ②
①-②得： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =2（1- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ （12分）
所以 $\text{[math]}$ （13分）
分析：（I）f′（x）=2（x-2），由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能够证明数列{a_n-2}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，由错位相减法能够求出 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
点评：第（I）题考查等比数列的证明和通项公式的求法，解题时要注意合理地构造数列；第（II）题考查数列前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．