题目内容
1.设数列{an}的前n项和Sn=aqn+b(a,b为非零实数,q≠0且q≠1).(1)当a,b满足什么关系式,{an}是等比数列;
(2)若{an}为等比数列,证明:以(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线上.
分析 (1)当a+b=0时,a1=S1=a(q-1).当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1).当n=1时也成立.于是数列{an}为等比数列;
(2)运用等比数列的通项和求和公式的关系,即可得证.
解答 解:(1)当a,b满足a+b=0,{an}是等比数列.
理由:当a+b=0时,a1=S1=aq+b=a(q-1).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1).
当n=1时也成立.
于是$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{a{q}^{n}(q-1)}{a{q}^{n-1}(q-1)}$=q(n∈N+),
即数列{an}为等比数列;
(2)证明:若{an}为等比数列,设公比为q,q≠1,
则Sn=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$
=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$an,
即有以(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线
y=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$x上.
点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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