Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）．
（1）求a₂与a₃的值；
（2）设bn=an+2n，T_n是数列{b_n}的前n项和，求数列{T_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，令n=1求得a₂，再令n=2求出a₃
（2））由于an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），当n≥2时，an=2Sn-1+2n-1，两式相减并整理得出an+1=3an+2n，经验证n=1也适合．再考察

bn+1

bn

的比值为定值3，判定数列{b_n}为等比数列，在求和即可．

解答：解：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，
令n=1得
a₂=2S₁+2²-1=5，
令n=2得
a₃=2S₂+2³-1=2（a₁+a₂）+2³-1=19
（2）∵an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），当n≥2时，an=2Sn-1+2n-1，
两式相减得：an+1-an=2an+2n，整理得出an+1=3an+2n，又a2=3a1+2 ，
所以对于任意正整数n都有an+1=3an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=

3an+3•2n

an+2n

=

3(an+2n)

an+2n

=3
故数列{b_n}是等比数列，其公比为3，首项为b₁=a₁+2=3．
得：bn=3×3n-1=3n，
从而Tn=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

点评：本题主要考查等比数列的判定、通项公式求解．考察转化、变形构造、推理论证、计算能力．