Question

圆C：x²+y²-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．
（1）求证：不论实数k取什么值，直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）当k=2时，直线l与圆C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离；
（3）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，表示出根的判别式，根据完全平方公式大于等于0得到根的判别式恒大于0，故方程有两个不相等的实数根，进而得到直线与圆恒有两个交点；
（2）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，把k=2代入直线l方程中，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，根据垂径定理得到弦心距，弦的一半以及圆的半径构成直角三角形，根据勾股定理求出弦的一半，即可得到A，B之间的距离；
（3）观察直线l发现，直线l恒过定点H，连接CH，过H作CH的垂线即为直线l，此时圆心到直线的距离d最大，利用勾股定理求出此时的d，然后根据圆的半径，再利用勾股定理求出直线l与圆C交点A，B之间距离，即为直线l被圆C截得的线段的最短长度，根据点C和H的坐标求出直线CH的斜率，根据两直线垂直时斜率的关系求出直线l的斜率，即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）联立方程，消去y得（1+k²）x²+（2k-4）x-4=0，
△=（2k-4）²+16（1+k²）＞0恒成立所以直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）把圆C的方程化为标准方程得：（x-2）²+y²=9，
∴圆心C坐标为（2，0），半径r=3，又k=2，所以直线l：2x-y+1=0，
圆心C到直线l的距离d=

|5|

5

=

5

，
根据勾股定理得：AB=2

32- ( 5 )2

=4；
（3）直线恒过圆内定点H（0，1），
当l⊥CH时，圆心到直线距离d最大，
在直角三角形OCH中，根据勾股定理得：d=

12+22

=

5

，
线段的最小长度AB=2

32-( 5 )2

=4，
∵k_CH=

1-0

0-2

=-

1

2

，∴k_l=2，
则直线l方程为2x-y+1=0．

点评：此题考查了方程与函数的综合，勾股定理及垂径定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系．学生在做（3）问时，通过观察发现直线l恒过定点H，连接CH，过H作出CH的垂线即为直线l，此时圆心到直线l的距离最大，理解这点是解本题的关键．