题目内容
（I）已知|
|=2，|
|=3，
与
的夹角是
，求实数k，使得5
+3
与3
+k
垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=
，求tanα的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=
| 1 |
| 5 |
分析：（I）由已知的两向量垂直，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则计算后，将已知的
与
的模及夹角代入，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（II）将已知的等式sinα+cosα=
两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到2sinαcosα的值小于0，可得sinα大于0，cosα小于0，再利用完全平方公式求出（sinα-cosα）2的值，开方得到sinα-cosα的值，与sinα+cosα的值联立求出sinα和cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可求出tanα的值．
| a |
| b |
（II）将已知的等式sinα+cosα=
| 1 |
| 5 |
解答：解：（I）∵5
+3
与3
+k
垂直，
与
的夹角是
，
∴（5
+3
）•（3
+k
）=0，
即15|
|2+（5k+9）|
|•|
|cos
+3k|
|2=0，
又|
|=2，|
|=3，
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-
；
（II）把sinα+cosα=
①两边平方得：
sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=
，
∴2sinαcosα=-
＜0，又0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
则（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=
，
∴sinα-cosα=
②，
联立①②解得：sinα=
，cosα=-
，
则tanα=-
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
∴（5
| a |
| b |
| a |
| b |
即15|
| a |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| b |
又|
| a |
| b |
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-
| 87 |
| 42 |
（II）把sinα+cosα=
| 1 |
| 5 |
sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=
| 1 |
| 25 |
∴2sinαcosα=-
| 24 |
| 25 |
∴sinα＞0，cosα＜0，
则（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=
| 49 |
| 25 |
∴sinα-cosα=
| 7 |
| 5 |
联立①②解得：sinα=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
则tanα=-
| 4 |
| 3 |
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，以及两向量垂直时满足的关系，熟练掌握法则及基本关系是解本题的关键，同时注意判断sinα与cosα的正负．
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