Question

甲、乙两人参加一项智力竞赛．在同一轮竞赛中，两人测试同一套试卷，成绩由次到优，依次分为“合格”，“良好”，“优秀”三个等级．根据以往成绩可知，甲取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立，且每个人的前后各轮次竞赛成绩互不影响．
（Ⅰ）求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮竞赛中，至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率．

Answer 1

记A₁，A₂分别表示甲取得良好、优秀，B₁，B₂分别表示乙取得合格、良好，A表示在一轮竞赛中，甲取得的成绩优于乙取得的成绩B表示在三轮竞赛中至少有两轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩，C₁，C₂分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲取得的成绩优于乙取得的成绩．则
（Ⅰ）A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，（2分）
P（A）=P（A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂）=P（A₁•B₁）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）=P（A₁）×P（B₁）+P（A₂）×P（B₁）+P（A₂）×P（B₂）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（6分）
（Ⅱ）B=C₁+C₂，（8分）P（C₁）=C₃²[P（A）]²[1-P（A）]=3×0.2²×（1-0.2）=0.096，
P（C₂）=[P（A）]³=0.2³=0.008，
P（B）=P（C₁+C₂）=P（C₁）+P（C₂）=0.096+0.008=0.104．（12分）