Question

7．如图，直线AB过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S_△OAD=S_△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A，B坐标代入可求出直线和，将B点坐标代入可求出抛物线所表示的函数表达式；
（2）联立直线与抛物线方程，可得C点坐标，由S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA=S_△OAD，先求出S_△OAD，再由OA长，可得点D的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+b，
∵点A坐标为（2，0），B点坐标为（1，1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ k+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线所表示的函数表达式为：y=-x+2，
将B点坐标（1，1）代入抛物线y=ax²得：a=1，
∴抛物线所表示的函数表达式为y=x²；
（2）存在点D（-$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，3）使得S_△OAD=S_△OBC，理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
故C点坐标为（-2，4），
又由点A坐标为（2，0），B点坐标为（1，1），OA=2，
∴S_△OAD=S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA=3，
设D点坐标为：（m，n）
又由S_△OAD=$\frac{1}{2}OA$•n=n，
故n=3，则m=$±\sqrt{3}$，
故存在点D（-$\sqrt{3}$，3）或（$\sqrt{3}$，3）使得S_△OAD=S_△OBC．

点评 本题考查了一次函数，二次函数解析式的救法，两个函数图象的交点坐标，三角形的面积，难度不大，属于中档题．