Question

选修1：几何证明选讲
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

Answer 1

证明：（1）连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
（2）连接AP，因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．

分析：（1）连接OP，由AC与BD都与直线l垂直，得到AC与BD平行，由AB与l不相交得到四边形ABDC为梯形，又O为AB中点，P为CD中点，所以OP为梯形的中位线，根据梯形中位线性质得到OP与BD平行，从而得到OP与l垂直，而P在圆上，故l为圆的切线；
（2）由（1）得到l为圆的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BPD=∠BAP，又根据等角的余角相等即可得到∠PBA=∠PBD，即PB为角平分线．
点评：此题考查了切线的判定，梯形中位线性质及直线与圆的位置关系．证明切线时：有点连接圆心与这点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，是经常连接的辅助线．