Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，3）．
（1）当$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求$\frac{sinx+cosx}{3sinx-2cosx}$的值；
（2）设函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$，求f（x）的单调增区间；
（3）对于（2）中的f（x），当x∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线的条件，可得3sinx=-cosx，代入，即可得到结论；
（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（3）求出（2x-$\frac{π}{4}$）的范围，从而确定f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，3），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴3sinx=-cosx，
∴$\frac{sinx+cosx}{3sinx-2cosx}$=$\frac{sinx-3sinx}{3sinx+6sinx}$=-$\frac{2}{9}$；
（2）函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）=sin²x+sinxcosx-2
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x-2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{3}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；
（3）函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{3}{2}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴f（x）的最小值是-2，f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{2}-3}{2}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．