题目内容
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响．我国PM2.5标准如表1所示．我市环保局从市区四个监测点2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示．（1）求这15天数据的平均值（结果保留整数）．
（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．
| PM2.5日均值（微克/立方米）范围 | 空气质量级别 |
| （1，35] | I |
| （35，75] | II |
| 大于75 | 超标 |
【答案】分析：（1）根据茎叶图得到15天的数据，然后利用平均数公式求出平均数即可．
（2）ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；
（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为P=
，一年中空气质量达到一级的天数η～B（360，
），求出期望，即可得到结论．
解答：解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：
（3分）
（2）依据条件，ξ的可能值为0，1，2，3，
当ξ=0时，
，（4分）
当ξ=1时，
（5分）
当ξ=2时，
，（6分）
当ξ=3时，
（7分）
所以其分布列为：
（8分）
数学期望为：
（10分）
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为
，（11分）
一年中空气质量达到一级的天数为η，则
，
∴
（天）
所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．（13分）
点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
（2）ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；
（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为P=
，一年中空气质量达到一级的天数η～B（360，），求出期望，即可得到结论．解答：解：（1）随机抽取15天的数据的平均数为：
（3分）（2）依据条件，ξ的可能值为0，1，2，3，
当ξ=0时，
，（4分）当ξ=1时，
（5分）当ξ=2时，
，（6分）当ξ=3时，
（7分）所以其分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | |
| P |  |  |  |  |
数学期望为：
（10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为
，（11分）一年中空气质量达到一级的天数为η，则
，∴
（天）所以一年中平均有120天的空气质量达到一级．（13分）
点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
练习册系列答案
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