Question

已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1
且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=0，求出f（1）的值，进而得出f（2）的值；令x=n，得出2f（n）=f（n+1），进而求出当n∈N₊时，f（n）=2ⁿ，当n∈N_-时，f（n）=2ⁿ，即可求出f（x）的表达式．
（Ⅱ）取两个实数x₁，x₂，设x₁＜x₂，①若n-1≤x₁＜x₂＜n，则f（x₁）-f（x₂）=2^n-1（x₁-x₂）＜0；若n₁-1则x₁＜n₁n-1＜x₂＜n，f（x₂）≥f（n₁）f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)＜f(n1)≤f(x2)，即可得出结果．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M₀＞M，且log₂M₀∈Z，记x₀=log₂M₀，则：f（x₀）=2^log₂M₀=M₀＞M，即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），
∵f（0）=1∴f（1）=2
同理得：∴f（2）=4（2分）
又对任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）
即　　2f（n）=f（n+1）（4分）
当n∈N₊时，f（n）=2f（n-1）=2²f（n-2）=…=2ⁿf（0）=2ⁿ
当n∈N_-时，f（0）=2f（-1）=2²f（-2）=…=2^-nf（n），
即　　f（n）=2ⁿ．　　　 （7分）
综上可得：f（n）=2ⁿ（n∈Z）
当x∈[3，4）时，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）
（Ⅱ）f（x）是定义域上的增函数．
任意取两个实数x₁，x₂，设x₁＜x₂
①若n-1≤x₁＜x₂＜n，则f（x₁）-f（x₂）=f（n-1）（x₁-n）+f（n）-f（n-1）（x₂-n）-f（n）
=f（n-1）（x₁-x₂）=2^n-1（x₁-x₂）＜0（12分）
②若n₁-1则x₁＜n₁n-1＜x₂＜n，
依①可得　　f（x₂）…f（n-1）
事实上　　f（n-1）=2^n-1，f(n1)=2n1，∵n₁，n-1
∴f（n₁），f（n-1）∴f（x₂）≥f（n₁）f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)＜f(n1)≤f(x2)
综上所述：f（x₁）＜f（x₂）（16分）
所以，f（x）是定义域上的增函数．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M₀＞M，且log₂M₀∈Z，
记x₀=log₂M₀
则：f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0＞M
所以　　f（x）为R上无界函数．　　　　　 （20分）

点评：本题考查了函数单调性的判断和证明以及函数的恒成立问题，此题的难度较大，要认真审题，仔细作答．