Question

若椭圆和双曲线有相同焦点F₁，F₂，点P是两条曲线的一个公共点，并且

PF1

•

PF2

=0，e₁，e₂分别为它们的离心率，则

1

e 21

+

1

e 22

的值是______．

Answer 1

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
将④⑤代入③得a²+m²=c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=1，即

1

e 12

+

1

e 22

=2
故答案为2