题目内容
已知直线l：y=x+m与椭圆
+
=1相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
（1）直线l：y=x+m代入椭圆
+
=1，可得5x2+8mx+4m2-20=0
∵直线l：y=x+m与椭圆
+
=1相交于不同的两点A，B，
∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
∴k1+k2=
+
=
=
=
=0
∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
∵直线l：y=x+m与椭圆
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
∴△=64m2-20（4m2-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 8m |
| 5 |
| 4m2-20 |
| 5 |
∴k1+k2=
| y1-1 |
| x1-4 |
| y2-1 |
| x2-4 |
| (x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4) |
| x1x2-4(x1+x2)+16 |
| 2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1) |
| x1x2-4(x1+x2)+16 |
=
2•
| ||||
| x1x2-4(x1+x2)+16 |
∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．
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