Question

已知a是实数，函数f(x)=21nx+x²-ax(x∈(0，+∞))，
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与圆(x-1)²+y²=1相切，求a的值；
(Ⅱ)若函数f(x)在定义域上存在单调减区间，求a的取值范围；
(Ⅲ)若a=1，对x₁∈[1，e]，x₀∈[1，e]使f(x₀)=m-x₁成立，求m的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)，，
又f(1)=1-a，切线方程：y-(1-a)=(4-a)(x-1)，即(4-a)x-y-3=0，
又切线与圆(x-1)²+y²=1相切，得；
(Ⅱ)若函数f(x)在定义域上存在单调减区间，(0，∞)使得f′(x)＜0成立不等式有正数解，
又x＞0，故2x²-ax+2＜0有解，
①当a＜0不可能；
②当a＞0时，Δ=a²-4a＞0，a＞4；
(Ⅲ)若a=1，对使成立；
f(x)在[1，e]上的值域为[0，e²-e+2]且g(x)=，
g(1)∈[0，e²-e+2]，m-1∈[0，e²-e+2]，即m≥1，
，
故m的取值范围为e²≤m≤e²-e+3。