题目内容
12.向量$\vec a$,$\vec b$满足$(\vec a-2\vec b)⊥(\vec a+\vec b)$,且|$\vec a|=4$,|$\vec b|=2$,则$\vec a$在$\vec b$方向上的投影为4.分析 向量$\vec a$,$\vec b$满足$(\vec a-2\vec b)⊥(\vec a+\vec b)$,可得$(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$•$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$=0,解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$.即可得出$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$.
解答 解:∵向量$\vec a$,$\vec b$满足$(\vec a-2\vec b)⊥(\vec a+\vec b)$,
∴$(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$•$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=42-2×22-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0,
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8.
∴$\vec a$在$\vec b$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8}{2}$=4.
故答案为:4.
点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | -1 | B. | 1 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $-\frac{1}{2}$ |
A. | $\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$>$\sqrt{a-b}$ | B. | $\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$<$\sqrt{a-b}$ | C. | $\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=$\sqrt{a-b}$ | D. | 无法确定 |
A. | $-\frac{7}{25}$ | B. | $\frac{7}{25}$ | C. | $-\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |