Question

观察下列等式（x²+x+1）⁰=1，（x²+x+1）¹=x²+x+1，（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1…
可以推测（x²+x+1）⁵展开式中各项系数的和为

3⁵

．第四、五、六项系数的和是

136

．

Answer 1

分析：观察所给的等式，分析可得（x²+x+1）ⁿ中，各项系数的和为3ⁿ，则（x²+x+1）⁵展开式中各项系数的和为3⁵，进而分析可得，在（x²+x+1）⁵展开式中，按x的降次排列，共11项，展开式的第四项是含x⁷的项；其构成是5个（x²+x+1）中3个出x²，1个出x，1个出1；或2个出x²，3个出x，由组合数公式可得其系数，同理可得第五、六项系数，相加可得答案．

解答：解：观察所给的等式
（x²+x+1）⁰=1中，各项系数的和为1=3⁰，
（x²+x+1）¹=x²+x+1中，各项系数的和为3=3¹，
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1中，各项系数的和为9=3²，
…
可以推测（x²+x+1）⁵展开式中各项系数的和为3⁵，
在（x²+x+1）⁵展开式中，按x的降次排列，共11项，
则展开式的第四项是含x⁷的项；其构成是5个（x²+x+1）中3个出x²，1个出x，1个出1；或2个出x²，3个多项式出x，其系数为C₅³C₃¹+C₅²=40，
展开式的第五项是含x⁶的项；其构成是5个多项式3个出x²，其它都出1；5个多项式2个出x²，2个出x，其它出1；
5个多项式1个出x²，4个出x，其系数为C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45，
同理：展开式的第6项的系数为C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
则第四、五、六项系数的和是40+45+51=136．
故答案为3⁵，136．

点评：本题考查二项式定理的运用以及归纳推理，解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律．